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Pour retrouver les coefficient $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$, on développe l'expression :
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(z)
=(z^2 + az + b)(z^2 + 4z + 2a)
\newline
= z^4 + 4z^3 + 2az^2 + az^3 + 4az^2 + 2a^2z + bz^2 + 4bz + 2ab
\newline
= z^4 + (4 + a)z^3 + (6a + b)z^2 + (2a^2 + 4b)z + 2ab
}$$

On a donc $\textcolor{#caa7ff}{P}$ de la forme
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 + Cz + D
}$$

Or
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(z) = z^4 - 19z^2 + 52z - 40
}$$

On résout alors le systeme suivant :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
A = 0 \newline
B = -19 \newline
C = 52 \newline
D = -40
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
4 + a = 0 \newline
6a + b = -19 \newline
2a^2 + 4b = 52 \newline
2ab = -40
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
a = -4 \newline
b = 5 \newline
52 = 52 \newline
-40 = -40
\end{cases}
}$$

On remplace ensuite $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ dans l'exression :
$$\textcolor{#caa7ff}{
P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z^2 + 4z + 8)
}$$

$\textcolor{#caa7ff}{P(z) = 0}$ est alors une équation produit nul et donc :

• Soit $\textcolor{#caa7ff}{z^2 - 4z + 5 = 0}$
• Soit $\textcolor{#caa7ff}{z^2 + 4z + 8 = 0}$

On résout :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z^2 - 4z + 5 = 0
\newline
\Delta
= (-4)^2 - 4 \times 5
= -4
\newline
\Rightarrow
z_1
= \frac{4 + i\sqrt{4}}{2}
= 2+i
\text{ et }
z_2
= \overline{z_1}
= 2-i
}$$

On résout :
$$\textcolor{#caa7ff}{
z^2 + 4z + 8 = 0
\newline
\Delta
= (4)^2 - 4 \times 8
= -16
\newline
\Rightarrow
z_3
= \frac{-4 + i\sqrt{16}}{2}
= -2+2i
\text{ et }
z_4
= \overline{z_3}
= -2-2i
}$$

On trouve donc les solutions de l'équation $\textcolor{#caa7ff}{P(z) = 0}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\mathscr{S}
= \bigl\{
\bigl(2+i\bigr);
\bigl(2-i\bigr);
\bigl(-2+2i\bigr);
\bigl(-2-2i\bigr)
\bigr\}
}
}$$